Центр качество БНТУ

Построение прилегающей плоскости к номинально плоским поверхностям, ограниченным прямоугольным контуром

Cоломахо В.Л., д.т.н., профессор БНТУ
Дадьков К.И., старший преподаватель БНТУ

В статье предложен новый подход к построению прилегающей плоскости на основе анализа расположения характерных точек номинально плоской поверхности. На примере номинально плоских поверхностей деталей машиностроения, ограниченных прямоугольным контуром и аппроксимируемых сферическими или параболическими поверхностями, продемонстрировано практическое применение разработанного подхода к построению прилегающих элементов.

Наиболее эффективным методом уменьшения погрешности измерений при их относительно неизменной стоимости является минимизация методических погрешностей. Данные погрешности возникают из-за принятых при измерении или обработке результатов теоретических допущений и упрощений, а также из-за несоответствия реального объекта принятой модели. В настоящее время в подавляющем большинстве измерений отклонений формы и расположения номинально плоских поверхностей, проводимых в условиях промышленного производства, в результатах наблюдений присутствуют значимые методические составляющие погрешности, сопоставимые с интегральной погрешностью измерений. Частично это обусловлено тем, что при реализации контроля номинально плоских поверхностей некорректно воспроизводится прилегающая плоскость.

Согласно ГОСТ 24642-81 прилегающей плоскостью называется плоскость, соприкасающаяся с реальной поверхностью и расположенная вне материала так, чтобы отклонение от нее наиболее удаленной точки реальной поверхности в пределах нормируемого участка имело минимальное значение. При этом вместо прилегающего элемента для оценки отклонений формы допускается использовать в качестве базового элемента средний элемент.

В ГОСТ 28187-89 также разрешается измерение и оценка отклонений формы относительно среднего или других элементов, имеющих номинальную форму измеряемого элемента, но по расположению отличающихся от прилегающего элемента (такими элементами являются, например: прямая, проходящая через две разнесенные точки реального профиля; плоскость, проходящая через три разнесенные точки реальной поверхности; окружность или цилиндр минимальной зоны). Следует отметить, что применение в качестве прилегающей плоскости других элементов допускается только при измерении отклонений формы, в то время как при измерении отклонений расположения остается необходимым условие использование именно прилегающей плоскости.

В промышленности в подавляющем большинстве методик выполнения измерений при исследовании отклонений формы и расположения в качестве прилегающей используются плоскость, проводимая по трем максимально разнесенным произвольно выбранным точкам или средняя плоскость. Методическая погрешность при реализации данных методов из-за отличия базовой плоскости от прилегающей может достигать до 40 % от измеренного отклонения формы или расположения. При метрологических исследованиях номинально плоских поверхностей, проводимых в лабораторных условиях при выполнении измерений с высокой степенью точности, для построения плоскости, близкой по расположению к прилегающей, используют метод качелей или метод проецирующих плоскостей. Методическая погрешность при реализации данных методов из-за отличия базовой плоскости от прилегающей, как правило, не превышает 10 % от измеренного отклонения формы или расположения, но в то же время описанные методы отличаются достаточно большой трудоемкостью и низкой производительностью.

В настоящее время отсутствуют универсальные методы построения прилегающей плоскости, применимые для исследования любых номинально плоских поверхностей. Задачу построения прилегающих элементов можно решить, дифференцируя поверхности по следующим признакам:

1. Вид контура, ограничивающего номинально плоскую поверхность.

2. Вид геометрической поверхности, при помощи которой можно аппроксимировать реальную номинально плоскую поверхность; при аппроксимируемой поверхности выше второго порядка рекомендуется исследуемую поверхность описать как кусочно-непрерывную при помощи бикубических сплайнов, после чего рассматривать отдельно каждую локальную область как ограниченную поверхность второго порядка.

3. Омбиличность аппроксимируемой поверхности. При помощи данного критерия определяют, является ли аппроксимируемая поверхность выпуклой, вогнутой или выпукло-вогнутой.

4. Наличие на исследуемой поверхности элементов прерывания, характер их расположения.

Используя данный дифференцированный подход, для каждого случая можно использовать частный метод построения прилегающей поверхности, сводя методическую погрешность к пренебрежимо малым погрешностям второго или третьего порядка малости.

Для примера рассмотрим метод построения прилегающей плоскости для непрерывных номинально плоских вогнутых поверхностей, ограниченных прямоугольным контуром и аппроксимируемых эллиптическими или параболическими поверхностями второго порядка. Для этого сначала исследуем строение сечения эллиптического параболоида параллелепипедом, ребро которого параллельно оси симметрии параболоида, причем вершина параболоида лежит внутри параллелепипеда.

В качестве системы координат выбираем каноническую систему координат для эллиптического параболоида. В данной системе координат параболоид задается уравнением

(1)

На рисунке 1 точки A, B, C и D – вершины параллелограмма, который получается при сечении параллелепипеда плоскостью xOy.

Для точек , лежащих в плоскости xOy, введем обозначение

(2)

Рисунок 1 – Сечение параболоида параллелепипедом

Величина есть аппликата точки , которая является точкой пересечения параболоида и прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости xOy.

Определим точку сечения, имеющую наибольшую аппликату . При сечении параболических поверхностей параллелепипедом справедливо следующее равенство:

, (3)

т.е. самая высокая точка сечения лежит на одном из боковых ребер параллелепипеда.

Для обоснования этого утверждения выполним преобразование:

, , . (4)

В системе координат уравнение параболоида примет вид

, (5)

т.е. в результате преобразования мы получили параболоид вращения. Линиями уровня этого параболоида будут окружности.

При таком преобразовании параллелограмм отобразится в параллелограмм , лежащий в плоскости , причем , и так далее. Поскольку есть квадрат расстояния от точки О до точки с координатами , то (а так как , то, следовательно, и z) примет наибольшее значение в точке параллелограмма , наиболее удаленной от точки О. А это как раз и будет одна из вершин параллелограмма.

Действительно, пусть R – расстояние от наиболее удаленной точки Р параллелограмма до точки О. Построим окружность радиуса R с центром в точке О. Если точка Р не совпадает ни с одной из вершин параллелограмма, то на той его стороне, на которой лежит точка P, обязательно найдутся точки, лежащие вне построенной окружности, и, следовательно, удаленные от точки O на расстояние, большее, чем R. А это противоречит определению точки Р.

Таким образом, наиболее высокая точка сечения лежит на боковом ребре параллелепипеда.

Для определения точек, принадлежащих реальной поверхности через которые должна проходить прилегающая плоскость, проведем исследование линий сечения параболических поверхностей параллелепипедом. Каждая грань параллелепипеда пересекает параболоид по линии, которая представляет собой участок некоторой параболы. При движении по этому участку аппликата z может изменяться монотонно (тип поведения 1), или же вначале монотонно возрастать, а затем монотонно убывать (тип поведения 2). Во втором случае вершина параболы лежит в соответствующей грани параллелепипеда, а в первом – нет.

Для исследования типа поведения линий сечения выполним преобразование (4). Если точки и лежат на параллелограмме и расстояния , то и для аппликат , где и - прообразы точек и при преобразовании (4).

Рассмотрим грань параллелепипеда, проходящую через отрезок [A; D] (другие случаи рассматриваются аналогично). В плоскости опустим перпендикуляр на сторону параллелограмма (напомним, это образ параллелограмма ABCD при преобразовании (4)). Если точка попала на сторону (рисунок 2а), то при движении точки из положения в положение значение будет вначале монотонно убывать до значения , а затем – возрастать до значения . Соответственно, при движении точки K из положения A в положение D значение будет вначале монотонно убывать до значения , где M – прообраз точки , а затем – возрастать до значения . В результате мы получаем, что часть линии сечения, которая находится в рассматриваемой грани параллелепипеда, имеет тип поведения 2, как показано на рисунке 3 (вершина соответствующей параболы при этом находится в точке ).

а) б) в)

Рисунок 2 – Типы поведения линии сечения параболоида параллелепипедом

Рисунок 3 - Тип поведения 2 линии сечения параболоида параллелепипедом

Если же точка не попала на сторону (рис. 2б и 2в), то при движении точки из положения в положение значение будет монотонно убывать до значения в случае, показанном на рисунке 2б, и монотонно возрастать до значения в случае, показанном на рисунке 2в. Естественно, при движении точки

K<;/span> из положения A в положение D значение будет вести себя аналогично.

В результате получаем, что в данном случае часть линии сечения, которая находится в рассматриваемой грани параллелепипеда, имеет тип поведения 1, как показано на рисунках 4а и 4б (вершина соответствующей параболы при этом находится в точке и не лежит на данной грани).

Рисунок 4 - Тип поведения 1 линии сечения параболоида параллелепипедом

Участки сечения эллиптического параболоида параллелепипедом, лежащие в смежных гранях параллелепипеда, не могут одновременно иметь тип поведения 1. Это следует из того, что, по крайней мере, одна из двух высот опущенных из точки O на смежные стороны параллелограмма пересечет соответствующую сторону (т.е. для нее будет иметь место случай, показанный на рисунке 2а, и соответствующий участок сечения будет иметь тип поведения 2).

Из вышеизложенного следует, что точка сечения с наименьшей аппликатой лежит в одной из двух смежных граней параллелепипеда, пересечение которых есть ребро, проходящее через ту вершину параллелограмма ABCD, для которой выполняется условие

, (6)

при этом точка не может лежать на ребре параллелепипеда.

Для определенности будем считать, что , то есть точка является с наименьшей аппликатой среди точек и (рисунок 1). Точку находим следующим образом.

Запишем параметрические уравнения участков и сечения:

и , . (7)

где , и – координаты точек D, A и C соответственно, , , , .

Из условия существования экстремума находим значения параметров

и (8)

По этим значениям параметров из уравнений (7) находим координаты точек и .

Если оба участка и имеют тип поведения 2 (рисунок 5), то точка лежит на участке , точка лежит на участке , а оба значения параметра . В этом случае точка совпадает с той из точек и , которая является более низкой (и ее аппликата как раз равна ).

Рисунок 5 – Исследование смежных граней сечения параболоида параллелепипедом

Если участок имеет тип поведения 2, а участок – тип поведения 1 (рисунок 6), то точка лежит на участке и , а точка лежит вне участка и . В этом случае точка совпадает с точкой .

Рисунок 6 – Точка с наименьшей аппликатой, принадлежащая сечению параболоида параллелепипедом

Если же участок имеет тип поведения 2, а участок – тип поведения 1 (рисунок 3), то точка лежит на участке и , а точка лежит вне участка и . В этом случае точка совпадает с точкой .

Исследуем сечение параллелепипеда плоскостью. Рассмотрим прямой параллелепипед, в основании которого лежит параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает его боковые ребра в точках , , и , лежащих выше плоскости основания (рисунок 7).

Рисунок 7 - Сечение параллелепипеда плоскостью

Как следует из теоремы о параллельных плоскостях ¦ и ¦ , то есть - параллелограмм.

Для определенности будем считать (как это показано на рисунке 7), что - точка сечения с наибольшей аппликатой (по отношению к плоскости основания ABCD). Так как - параллелограмм, то очевидно, что точка будет иметь наименьшую аппликату в сечении.

Обозначим , и , где , и - точки пересечения соответствующих ребер параллелепипеда с плоскостью, проходящей через точку параллельно основанию ABCD (как это показано на рисунке 7). Данные величины назовем дефектами соответствующих точек, которые создает плоскость P. Как видно из рисунка 7, и . Следовательно,

, (9)

то есть дефект самой нижней точки сечения равен сумме дефектов двух других точек сечения, которые не являются самыми высокими.

{mospagebreak}

Исходя из вышеизложенного можно составить алгоритм построения прилегающей плоскости к номинально плоской поверхности, ограниченной четырехугольным контуром и аппроксимируемой сферической, эллиптической или параболической поверхностью второго порядка.

1.Из данных предварительного анализа определяют вид аппроксимируемой поверхности и ее омбиличность.

2. Проводят измерения координат точек на исследуемой поверхности в области углов ограничивающего поверхность четырехугольного контура.

3. Для вогнутых поверхностей определяют точку с наибольшей аппликатой, для выпуклых поверхностей – с наименьшей.

4. Определяют дефекты остальных измеренных точек относительно точки наибольшей (наименьшей) аппликатой.

5. В зависимости от соотношения определенных дефектов точек выбирают вариант построения прилегающей плоскости.

6. Определят координаты трех точек, через которые будет проходить прилегающая плоскость.

7. Составляют уравнение прилегающей плоскости в системе координат измерительного прибора.

Для определенности будем считать, что точка - точка сечения параболоида параллелепипедом с наибольшей аппликатой, тогда прилегающая плоскость должна проходить через точку .

Обозначим , , . Эти величины показывают, насколько ниже по отношению к точке лежат точки , и соответственно.

Рассмотрим возможные варианты соотношения дефектов точек.

Вариант 1. Пусть и (т.е. точка расположена ниже точек и ), и выполняется неравенство

. (10)

Проведем плоскость P через точки , и . Из определения дефектов следует, что и . В силу (4) ). Тогда из (3) следует, что , т.е. точка лежит не выше плоскости P. Следовательно, данная плоскость является прилегающей.

Таким образом, в случае 1 прилегающую плоскость необходимо проводить через три самые высокие точки сечения параболоида и параллелепипеда.

Вариант 2. Пусть и , и выполняется неравенство

. (11)

Так как неравенство (10) не выполняется, то плоскость P, проходящая через точки , и , пересекает часть параболоида, отсеченную параллелепипедом, в районе точки , то есть не является прилегающей.

Введем следующие обозначения:

; . (12)

Из неравенства (9) следует, что . Тогда .

Выполним сдвиг по оси Oz точек и , то есть на ребрах и параллелепипеда выберем, соответственно, точки и таким образом, чтобы их аппликаты были равны и , как показано на рисунке 8.

Рисунок 8 – Определение точек и

Через точки , и проведем плоскость P. Находим дефекты точек B и D, которые создает эта плоскость:

; (13)

. (14)

Тогда, используя уравнение (9), находим дефект точки A:

. (15)

Из этого равенства согласно определению чисел и следует, что точка лежит на построенной плоскости. А это значит, что построенная плоскость не пересекает часть параболоида, отсеченную параллелепипедом, то есть данная плоскость является прилегающей.

Таким образом, в случае 2 прилегающую плоскость следует проводить через точки сечения параболоида и параллелепипеда с наибольшей и наименьшей аппликатой и точку (или точку).

Вариант 3. Пусть выполняется, по крайней мере, одно из неравенств или (т.е. точка не является самой низкой из точек , и ). В этом случае обязательно выполняется неравенство (11). Тогда плоскость строим таким же образом, как в случае 2.

Таким образом, в случае 3 прилегающую плоскость следует проводить через точку сечения параболоида и параллелепипеда с наибольшей аппликатой и точки и .

Так как прилегающая плоскость не параллельна оси Oz канонической системы координат для параболоида, то ее уравнение в этой системе координат можно привести к виду

, (16)

где , - координаты точки сечения с наибольшей аппликатой (отметим, что , так как ось Oz пересекает данную плоскость в точке, лежащей выше координатной плоскости xOy).

Для определения коэффициентов m и n подставляем в уравнение (16) координаты двух других точек, через которые мы проводим прилегающую плоскость, и решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Описанная методика определения уравнения прилегающей плоскости действительно для любых вогнутых эллиптических или параболических поверхностей, ограниченных многоугольным контуром. Для построения прилегающей плоскости к выпуклым аппроксимируемым поверхностям при помощи аналитического моделирования определяют точку реальной поверхности, наиболее удаленную от плоскости, задаваемой уравнением (16). Плоскость, проходящая через данную точку и параллельная плоскости, задаваемой уравнением (16), будет являться прилегающей плоскостью к исследуемой выпуклой поверхности.

Таким образом, для построения прилегающей плоскости к непрерывной номинально плоской вогнутой поверхности, ограниченной прямоугольным контуром и аппроксимируемой эллиптическими или параболическими поверхностями второго порядка, необходимо измерить координаты точек в области углов ограничивающего многоугольного контура. Сравнивая аппликаты углов ограничивающего контура, определяют тип прилегающей плоскости и рассчитывают координаты трех точек, принадлежащих данной плоскости. Подставляя координаты полученных точек в уравнение (16) и решая систему уравнений с двумя неизвестными, получают каноническое уравнение прилегающей плоскости.

Литература:

ГОСТ 24642-81 Основные нормы взаимозаменяемости. Допуски формы и расположения поверхностей. Основные термины и определения

ГОСТ 28187-89 Основные нормы взаимозаменяемости. Отклонения формы и расположения поверхностей. Общие требования к методам измерений